Question

已知函數f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，G（x）=f（x）-g（x）．
（1）求證：函數G（x）必有零點；
（2）若m=6，試作出函數|G（x）|的簡圖，并寫出它的單調區間；
（3）若函數|G（x）|在[-1，0]上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數的圖象

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）化簡f（x）-g（x）并令其為零，判斷△，從而求證函數G（x）必有零點；
（2）化簡|G（x）|=|-x²+4x-3|=|（x-2）²-1|，從而做簡圖，由圖寫出單調區間；
（3）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+3-m，討論對稱軸從而確定單調性．

解答： （1）證明：∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m，令f（x）-g（x）=0，則
∴△=（m-2²+4（3-m）=m²-8m+16=（m-4）²≥0，
∴方程f（x）-g（x）=0有實數根，∴函數G（x）=f（x）-g（x）必有零點．
（2）∵m=6，∴|G（x）|=|-x²+4x-3|=|（x-2）²-1|，
令G（x）=0，則x=3或1，
作出y=|G（x）|簡圖如右圖所示．

由圖可知，單調增區間為：（1，2），（3，+∞）；
減區間為：（-∞，1），（2，3）．
（3）∵G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+3-m，
令G（x）=0，則x=1或m-3．
①若m=4，則G（x）=-（x-1）²
∴|G（x）|=（x-1）²在[-1，0]上是減函數，成立．
②若m＞4，則m-3＞1
|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-3|=|（x-1）（x+3-m）|在（-∞，1）上是減函數
∴|G（x）|在[-1，0]上是減函數，成立．
③若m＜4，則m-3＜1
|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-3|=|（x-1）（x+3-m）|在（-∞，m-3），（

m-2

2

，1）上是減函數，
∴m-3≥0或

m-2

2

≤-1，∴m≥3或m≤0，
又m＜4，∴3≤m＜4或m≤0．
綜上，|G（x）|在[-1，0]上是減函數時，m的取值范圍是m≤0或m≥3．

點評：本題考查了學生的作圖能力及函數的零點的判斷，屬于基礎題．