Question

設f（x）=x³+ax²+bx+1的導數f′（x）滿足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常數a，b∈R．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）設g（x）=f′（x）e^-x．求函數g（x）的極值．

Answer 1

（I）∵f（x）=x³+ax²+bx+1∴f'（x）=3x²+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

，因此f（x）=x^3-

3

2

x²-3x+1
∴f（1）=-

5

2

，
又∵f'（1）=2×（-

3

2

）=-3，
故曲線在點（1，f（1））處的切線方程為y-（-

5

2

）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
從而有g'（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g'（x）=0，則x=0或x=3
∵當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0，
當x∈（0，3）時，g'（x）＞0，
當x∈（3，+∞）時，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0時取極小值g（0）=-3，在x=3時取極大值g（3）=15e^-3