Question

已知兩個非零向量

a

=（m-1，n-1）和

b

（m-3，n-3），若cos＜

a

，

b

＞≤0，則m+n的取值范圍是（　　）

• A、[

  2

  ，3

  2

  ]
• B、[2，6]
• C、（

  2

  ，3

  2

  ）
• D、（2，6）

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數量積表示兩個向量的夾角

專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：運用向量的夾角公式，可得，（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，化簡配方，再令m-2=rcosα，n-2=rsinα，求得r的范圍，再代入m+n，化簡整理，運用兩角和的正弦公式，結合正弦函數的值域，即可得到．

解答： 解：由于

a

•

b

=（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3），
且m≠1，n≠1，m≠3，n≠3，
又cos＜

a

，

b

＞≤0，則（m-1）（m-3）+（n-1）（n-3）≤0，
即有（m-2）²+（n-2）²≤2，
可令m-2=rcosα，n-2=rsinα，代入上式，可得，-

2

≤r≤

2

，
則m+n=4+r（cosα+sinα）=4+

2

rsin（α+

π

4

），
由于sinα和cosα不能相等或相反，∴-1＜sin（α+

π

4

）＜1，
則有4-2＜m+n＜4+2，即有2＜m+n＜6．
故選D．

點評：本題考查用兩個向量的數量積表示兩個向量的夾角，正弦函數的值域，得到（m-2）²+（n-2）²≤2，是解題的關鍵．