Question

在等差數列{a_n}中，已知a₁=20,前n項和為S_n，且S₁₀=S₁₅，求當n取何值時，S_n取得最大值，并求出它的最大值.

Answer 1

當n=12或13時，S_n取得最大值，且最大值為S₁₂= 130.

方法一 ∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，
∴10×20+d=15×20+d，
∴d=-.                                                                  4分
∴a_n=20+（n-1）×(-)=-n+.                                           8分
∴a₁₃="0.                                                                   " 10分
即當n≤12時，a_n＞0,n≥14時，a_n＜0.
∴當n=12或13時，S_n取得最大值，且最大值為
S₁₂=S₁₃=12×20+(-)="130.                          "                  14分
方法二 同方法一求得d=-.                                                 4分
∴S_n=20n+·(-)
=-n²+n
=-+.                                                      8分
∵n∈N₊,∴當n=12或13時，S_n有最大值，
且最大值為S₁₂=S₁₃="130.                                    "                   14分
方法三 同方法一得d=-.                                                   4分
又由S₁₀=S₁₅,得a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅="0.                                             " 8分
∴5a₁₃=0,即a₁₃="0.                                                           " 10分
∴當n=12或13時，S_n有最大值，
且最大值為S₁₂=S₁₃="130.                                                      " 14分