Question

【題目】設函數的圖象在處取得極值4.

（1）求函數的單調區間；

（2）對于函數，若存在兩個不等正數，，當時，函數的值域是，則把區間叫函數的“正保值區間”.問函數是否存在“正保值區間”，若存在，求出所有的“正保值區間”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的遞增區間是和，遞減區間是；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）由極值求出參數，由導數的正負確定單調區間；

（2）根據函數的單調性分類討論，首先確定兩個極值點不能在上，再按函數在上的單調性求解．

（1），

依題意則有：，即解得 ,

∴.令，

由解得或，

所以函數的遞增區間是和，遞減區間是；

（2）設函數的“正保值區間”是，因為，故極值點不在區間上；

①若極值點在區間，此時，在此區間上的最大值是4，不可能等于；故在區間上沒有極值點；

②若在上單調遞增，即或，

則，即，解得或不符合要求；

③若在上單調減，即，則，

兩式相減并除得：， ①

兩式相除可得，即，

整理并除以得：，②

由①、②可得，即s，t是方程的兩根，

解得，，但不合要求.

綜上可得不存在滿足條件的s、t，即函數不存在“正保值區間”