Question

已知圓x²+y²=1，過這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P作y軸的垂線段PD，D為垂足，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由PD⊥y軸得到D的坐標(biāo)，再由M為PD的中點(diǎn)把P的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入圓的方程得答案．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
∵PD⊥y軸于D，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，y₀），
∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，
∴

x= x0 2 y= y0+y0 2 =y0

，即

x0=2x y0=y

（1）
∵P（x₀，y₀）在圓上，
∴x02+y02=1（2）
把（1）代入（2）得4x²+y²=1，即

x2

1 4

+y2=1．
∴的軌跡是一個(gè)橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法，是中檔題．