Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）若對于區間[-1，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求導，從而可得

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，從而求出參數即可；
（2）由題意f（x）=x³-3x在[-1，1]上單調遞減，且f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，從而轉化恒成立問題為2+2≤t．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
故由題意可得，

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，
解得，a=1，b=0；
故y=f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x在[-1，1]上單調遞減，
f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，
故對于區間[-1，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t可化為2+2≤t，
故t≥4．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．