Question

【題目】已知關于的函數為上的偶函數，且在區間上的最大值為10. 設．

⑴ 求函數的解析式；

⑵ 若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；

⑶ 是否存在實數，使得關于的方程有四個不相等的實 數根？如果存在，求出實數的范圍，如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】【試題分析】（1）利用，化簡后可求得.此時函數對稱軸為軸，故當時取得最大值，由此求得.進而求得.（2）將原不等式分離參數得到在上恒成立，利用換元法結合二次函數最值可求得.（3）先將原方程化為.利用換元法令，將上式變為二次函數零點問題來求解.

【試題解析】

（1）∵為上的偶函數， ，

， 關于恒成立，

， 在區間上的最大值為10，

當時， 解得： ，

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

上式可化為在上恒成立，

令，∵，∴，則在上恒成立，

又∵當時， ，∴，即所求實數的取值范圍為

（3）方程，即，

可化為： ，

令，則，

若關于的方程有四個不相等的實數根，

則關于的方程必須有兩個不相等的實數根和，

并且，記 ，

則，

解得： ，所以，存在實數使得關于的方程

有四個不相等的實數根， 取值范圍為