Question

橢圓

x2

16

+

y2

8

=1的長軸端點A、B與y軸平行的直線交橢圓于P、Q，PA、QB延長線相交于S，求S軌跡．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設S（x，y），P（m，n），Q（m，-n），由k_PA=k_AS，得

n

m+a

=

y

x+a

，由k_BQ=k_QS，得

n

a-m

=

y

x-a

．
兩式相乘得

n2

a2-m2

=

y2

x2-a2

．再由P，Q兩點在橢圓上得到

m2

a2

+

n2

b2

=1，結合

n2

a2-m2

=

y2

x2-a2

可得S的軌跡方程．

解答： 解：設S（x，y），P（m，n），Q（m，-n），
kPA=

n-0

m-(-a)

=

n

m+a

，kAS=

0-y

-a-x

=

y

x+a

，
由k_PA=k_AS，得

n

m+a

=

y

x+a

  ①．
kBQ=

-n-0

m-a

=

n

a-m

，kQS=

y-0

x-a

=

y

x-a

，
由k_BQ=k_QS，得

n

a-m

=

y

x-a

  ②．
由①×②得，

n2

a2-m2

=

y2

x2-a2

  ③．
又P，Q兩點在橢圓上，滿足

m2

a2

+

n2

b2

=1，
即

n2

b2

=1-

m2

a2

=

a2-m2

a2

，則

b2

n2

=

a2

a2-m2

=

a2

n2

•

n2

a2-m2

，
代入③式得：

b2

n2

=

a2

n2

•

y2

x2-a2

．
即

y2

b2

=

x2-a2

a2

=

x2

a2

-1，
故

x2

a2

-

y2

b2

=1．
即

x2

16

-

y2

8

=1．
∴S的軌跡為

x2

16

-

y2

8

=1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了代入法求曲線的方程，體現了整體運算思想方法，是中檔題．