Question

設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）
（1）當a=1時，求證：f（x）為R上的單調遞增函數；
（2）當x∈[1，3]時，若f（x）的最小值為4，求實數a的值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=2x³-6x²+6x，求導可得f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²≥0，從而證明；
（2）求導化簡f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）；從而討論導數的正負以確定函數的單調性，從而求最值，以確定a．

解答： 解：（1）證明：當a=1時，f（x）=2x³-6x²+6x，
f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²≥0，
故f（x）為R上的單調遞增函數；
（2）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a
=6（x-1）（x-a）；
當a≤1時，f（x）在[1，3]上是增函數，
故f_min（x）=f（1）=2-3（a+1）+6a=4；
解得，a=

5

3

（舍去）；
當1＜a＜3時，f（x）在[1，3]上先減后增，
故f_min（x）=f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a•a=4；
解得，a=2；
當a≥3時，
f（x）在[1，3]上是減函數，
故f_min（x）=f（3）=54-27（a+1）+18a=4；
a=

23

9

（舍去）；
綜上所述，a=2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的最值的求法，屬于中檔題．