Question

已知函數(shù)f（x）=

a•ex

x

（a∈R，a≠0）．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處切線的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=1時，求導f′（x）=e^x•

x-1

x2

，從而得到f（1）=e，f′（1）=0；從而寫出切線方程；
（2）求導f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；從而可得當x＜1且x≠0時，e^x•

x-1

x2

＜0，當x＞1時，e^x•

x-1

x2

＞0；再討論a以確定導數(shù)的正負，從而求單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當a=1時，f′（x）=e^x•

x-1

x2

；
故f（1）=e，f′（1）=0；
故曲線f（x）在點（1，f（1））處切線的方程為
y-e=0；
（2）f′（x）=a•e^x•

x-1

x2

；
故當x＜1且x≠0時，e^x•

x-1

x2

＜0，
當x＞1時，e^x•

x-1

x2

＞0；
故當a＜0時，當x＜1且x≠0時，f′（x）＞0，
當x＞1時，f′（x）＜0；
當a＞0時，當x＜1且x≠0時，f′（x）＜0，
當x＞1時，f′（x）＞0；
故當a＜0時，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
當a＞0時，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及導數(shù)的幾何意義的應用，同時考查了分類討論的思想應用，屬于中檔題．