Question

【題目】一個容器的蓋子用一個正四棱臺和一個球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，斜高為0.6R

（1）求這個容器蓋子的表面積（用R表示，焊接處對面積的影響忽略不記）；

（2）若R＝2cm，為蓋子涂色時所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，計算100個這樣的蓋子約需涂料多少kg（精確到0.1kg）

Answer 1

【答案】（1）（21.85+4π）R2（2）0.6kg

【解析】

（1）將已知中的數據代入球的表面積公式和棱臺的表面積公式，即可求出答案．

（2）由（1）的結論，將R代入可計算出每個蓋子的表面積，進而求出100個蓋子的面積后，根據為蓋子涂色時所用的涂料的量，即可求出需涂料的重量．

（1）∵球的半徑為R

∴球的表面積為4πR2

又∵四棱臺的上、下底面邊長分別為2.5R和3R，

則四棱臺的上、下底面積分別為6.25R2和9R2

又由正四棱臺的斜高為0.6R

則四棱臺的側面積為4（2.5R+3R）×0.6R＝6.6R2

∴容器蓋子的表面積S＝（21.85+4π）R2

（2）由（1）得

S＝（21.85+4π）R2

R＝2cm時，S＝（87.4+16π）cm2

100個這樣的蓋子約需涂料為（87.4+16π）×100÷10000×0.4kg≈0.6kg