Question

已知函數f（x）=

1

x

+

2

x2

+

1

x3

．
（1）求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

的極值點．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，利用導數大于0與小于0，判斷好的單調性，求出從而求極值及單調區間；
（2）求g′（x），通過討論a的值，導數分子的函數值的符號，判斷函數的極值點求解即可．

解答： 解：（1）f′（x）=-

(x+1)(x+3)

x4

．f′（x）＞0，-3＜x＜-1，f′（x）＜0，x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	Φ	極小值 - 4 27	↑	極大值0	↓	-2

∴最大值為0，最小值為-2．
（2）g′（x）=-

x2+4x+3a

x4

．設u=x²+4x+3a．△=16-12a，
當a≥

4

3

時，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）沒有極值點．
當0＜a＜

4

3

時，x₁=-2-

4-3a

，x₂=-2+

4-3a

＜0．
減區間：（-∞，x₁），（x₂，0），（0，+∞），增區間：（x₁，x₂）．∴有兩個極值點x₁，x₂．
當a=0時，g（x）=

1

x

+

2

x2

，g′（x）=-

x+4

x3

．
減區間：（-∞，-4），（0，+∞），增區間：（-4，0）．∴有一個極值點x=-4．
綜上所述：a=0時，∴有一個極值點x=-4；0＜a＜

4

3

時有兩個極值點x=-2±

4-3a

；a≥

4

3

時沒有極值點．

點評：本題主要考查了利用導數求函數的極值，函數的單調性，一般有解求參數問題常常將參數進行分離，轉化成研究已知函數在某個區間上的最值問題，屬于中檔題．