Question

（本題滿分18分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）已知直線：＝＋＞0交拋物線C：＝2＞0于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交C于點N．

（1）若直線過拋物線C的焦點，且垂直于拋物線C的對稱軸，試用表示|AB|；
（2）證明：過點N且與AB平行的直線和拋物線C有且僅有一個公共點；
（3）是否存在實數，使＝0．若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）|AB|＝2（2）見解析（3）當≥2時，存在實數＝±；當＜2時，不存在實數

（1）拋物線的焦點是F0，，∴：＝，
則可得A、B兩點坐標為±，，所以|AB|＝2．（4分）
（2）將＝＋代入＝2得：－2－2＝0，
∴＝＝＝，代入＝2，得：＝，
∴N，．（7分）
則：－＝，代入＝2得：－2＋＝0，
由△＝0得直線和拋物線C只有一個公共點．（10分）
（3）＝－，－，＝－，－，
由＝0得－－＋－－＝0，（12分）
即－－＋＋－＋－＝0，
即＋＋＋－＋＝0，
由（2）可得＋＝2，＝－2，代入整理得：
3＋4＋8－4＝0，即＝0，（16分）
由于＞0，＞0，
∴當≥2時，存在實數＝±；當＜2時，不存在實數．（18分）