Question

【題目】如圖，為圓的直徑，點在圓上，，矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直，已知．

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題易證得到AF⊥C和AF⊥BF，利用線面垂直的判定可得AF⊥平面CBF，從而得到平面DAF⊥平面CBF；

（2）幾何體F-ABCD是四棱錐，連接OE，OF，取E，F的中點G，連接OG，可知點F到平面ABCD的距離等于OG，再由棱錐體積公式求解．

（1）證明：如圖，∵矩形ABCD，∴CB⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB．

又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，

∵CB∩BF=B，CB，BF平面CBF，∴AF⊥平面CBF，

∵AF平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF；

（2）解：幾何體F-ABCD是四棱錐，連接OE，OF，則OE=OF=EF=1，

∴△OEF是等邊三角形，取E，F的中點G，連接OG，則，且OG⊥EF．

∵AB∥EF，∴OG⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面ABEF．

∴OG⊥平面ABCD．

∴點F到平面ABCD的距離等于OG，又，

∴．