Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面積是菱形，AC交BD于O，PO⊥平面ABC，E為AD中點，F在PA上，AP=λAF，PC∥平面BEF．
（1）求λ的值；
（2）若AB=2，∠ADB=∠BPC=60°，求三棱錐A-EFB的體積．

Answer 1

分析：（1）由線面平行得線線平行，利用比例關系得λ的值；
（2）利用等積法把三棱錐A-EFB的體積轉化為求三棱錐F-ABE的體積．

解答：解：（1）設AO交BE于G，連接FG．
因為O，E分別是BD、AD的中點，所以

AG

AO

=

2

3

，

AG

AC

=

1

3

因為PC∥平面BEF，所以GF∥PC
所以

AF

AP

=

AG

AC

=

1

3

．即λ=3
（2）因為∠BPD=60°，PO⊥平面ABC，所以PO=

3

故點F到平面ABC的距離為

1

3

PO=

3

3

所以VA-EFB=VF-ABE=

1

3

×

3

2

×

3

3

=

1

6

故三棱錐A-EFB的體積為

1

6

點評：本題主要考查了線面平行的性質，幾何體體積的求法．