Question

已知函數f（x）=3^x的圖象過點（a+2，18）．
（1）求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）若函數g（x）的定義域為[0，1]，求g（x）的值域．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數過點，結合指數冪的運算法則即可求g（x）=3^ax-4^x的解析式；
（2）利用換元法，結合指數函數和一元二次函數的圖象和性質即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x的圖象過點（a+2，18）．
∴3^a+2=18，即9•3^a=18，
解得3^a=2，
則g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x；
（2）設t=2^x，若函數g（x）的定義域為[0，1]，
則1≤t≤2，
則g（x）等價為m（t）=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∵1≤t≤2，
∴-2≤m（t）≤0，
故函數g（x）的值域為[-2，0]．

點評：本題主要考查函數解析式和函數值域的求解，利用換元法結合指數函數和一元二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．