Question

如圖，在三棱拄中，側面，已知AA₁=2,,．

（1）求證：；

（2）試在棱(不包含端點上確定一點的位置,使得；

（3）在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析    （2）見解析    （3）

【解析】(I)根據線面垂直的判定定理只需證明和即可.

(2) 易證,然后設CE=x,則 ,則,

又因為,則，在直角三角形BEB₁中根據勾股定理建立關于x的方程,解出x的值，確定E為位置.

(3)本小題可以考慮向量法.求出兩個面的法向量，再求法向量的夾角，根據法向量的夾角與二面角相等或互補求二面角

（1）因為側面，故．

   在△BC₁C中，．

由余弦定理有 ．

故有  而 且平面

．…….……………4分

（2）由

從而  且 故

 不妨設  ，則，則 

又  則^，

在直角三角形BEB₁中有，   從而

故為的中點時，．……………9分

 法二：以為原點為軸，設，

則由得    即

 ．

化簡整理得       或 當時與重合不滿足題意

當時為的中點故為的中點使． ……….…9分

（3）取的中點，的中點，

的中點，的中點．連則，連則，

連則，連則，且為矩形，．

又． 故為所求二面角的平面角．

在中，．

．．…………15分

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角．因為，   ．

故