Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，a_n,S_n,S_n－成等比數列.
(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論；
(3)求數列{a_n}所有項的和.

Answer 1

（1）a₂=－ a₃=－ a₄=－
（3）S=S_n=0

∵a_n,S_n,S_n－成等比數列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                      
(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－
由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－
同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=
(2)①當n=1,2,3,4時，由(^*)知猜想成立.
②假設n=k(k≥2)時，a_k=－成立
故S_k²=－·(S_k－)
∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0
∴S_k= (舍)
由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對一切n∈N成立.
(3)由(2)得數列前n項和S_n=,∴S=S_n=0