Question

【題目】正△ABC的邊長為2, CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC的中點(如圖(1))．現將△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如圖(2))．在圖(2)中：

(1)求證：AB∥平面DEF；

(2)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論；

(3)求二面角E－DF－C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析．(2) 見解析．(3) ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由E、F分別是AC、BC的中點，得EF∥AB，由此能證明AB∥平面DEF；（Ⅱ）以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能在線段BC上存在點P，使AP⊥DE；（Ⅲ）分別求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值

試題解析：（1）證明：在△ABC中，因為E、F分別是AC、BC的中點，

所以EF∥AB．

又AB平面DEF，EF平面DEF，

所以AB∥平面DEF．

（2）以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（圖略）．則A（0,0,1），B（1,0,0），C（0， ，0），E（0， ， ），F（， ，0），＝（1,0，－1），＝（－1， ，0），＝（0， ， ），＝（， ，0）．

設＝λ，則＝＋＝（1－λ， λ，－1），

注意到AP⊥DE·＝0λ＝＝ ，

所以在線段BC上存在點P，使AP⊥DE．

（3）平面CDF的一個法向量＝（0,0,1），設平面EDF的法向量為n＝（x，y，z），

則，即，取n＝（3，－ ，3），

cos〈，n〉＝＝，

所以二面角EDFC的余弦值為．