【題目】已知函數
有兩個不同的零點.
（1）求
的取值范圍；
（2）設
， 
是
的兩個零點，證明： 
.
【答案】(1) 
(2)見解析
【解析】試題分析：（1）求出
，分四種情況討論
的范圍，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間， 
求得
的范圍，可得函數
的減區間，根據單調性，結合函數草圖可篩選出符合題意的
的取值范圍；（2）構造函數設
， 
，可利用導數證明∴
，∴
，
于是
，即
， 
在
上單調遞減，可得
，進而可得結果.
試題解析：（1）【解法一】
函數
的定義域為： 
.
，
①當
時，易得
，則
在
上單調遞增，
則
至多只有一個零點，不符合題意，舍去.
②當
時，令
得： 
，則
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| 增 | 極大 | 減 |
∴
.
設
，∵
，則
在
上單調遞增.
又∵
，∴
時， 
； 
時， 
.
因此：
（i）當
時， 
，則
無零點，
不符合題意，舍去.
（ii）當
時， 
，
∵
，∴
在區間
上有一個零點，
∵
，
設
， 
，∵
，
∴
在
上單調遞減，則
，
∴
，
∴
在區間
上有一個零點，那么， 
恰有兩個零點.
綜上所述，當
有兩個不同零點時， 
的取值范圍是
.
（1）【解法二】
函數的定義域為： 
. 
，
①當
時，易得
，則
在
上單調遞增，
則
至多只有一個零點，不符合題意，舍去.
②當
時，令
得： 
，則
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| 增 | 極大 | 減 |
∴
.
∴要使函數
有兩個零點，則必有
，即
，
設
，∵
，則
在
上單調遞增，
又∵
，∴
；
當
時：
∵
，
∴
在區間
上有一個零點；
設
，
∵
，∴
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
∴
，∴
，
∴
，
則
，∴
在區間
上有一個零點，
那么，此時
恰有兩個零點.
綜上所述，當
有兩個不同零點時， 
的取值范圍是
.
（2）【證法一】
由（1）可知，∵
有兩個不同零點，∴
，且當
時， 
是增函數；
當
時， 
是減函數；
不妨設： 
，則： 
；
設
， 
，
則： 
.
當
時， 
，∴
單調遞增，又∵
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
， 
， 
在
上單調遞減，
∴
，∴
.
（2）【證法二】
由（1）可知，∵
有兩個不同零點，∴
，且當
時， 
是增函數；
當
時， 
是減函數；
不妨設： 
，則： 
；
設
， 
，
則
.
當
時， 
，∴
單調遞增，
又∵
，∴
，∴
，
∵
，
∴
，
∵
， 
， 
在
上單調遞減，
∴
，∴
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求U(A∩B)；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，滿足B∪C＝C，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取
次．記錄如下：
甲： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
乙： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
（
）用莖葉圖表示這兩組數據．
（
）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適?請說明理由．
（
）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的三次數學競賽成績進行預測，記這
次成績中高于
分的次數為
，求
的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，圓
：
，動圓
與圓外切并且與圓內切，圓心軌跡為曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）若
是曲線上關于
軸對稱的兩點，點
，直線
交曲線
于另一點
，求證：直線
過定點，并求該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】小李在做一份調查問卷，共有4道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共2道，另一種是填空題，共2道．
（1）小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；
（2）小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設數列{cn}滿足
，數列{cn}的前n項和為Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋
對一切n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】正△ABC的邊長為2, CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC的中點(如圖(1))．現將△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如圖(2))．在圖(2)中：
(1)求證：AB∥平面DEF；
(2)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論；
(3)求二面角E－DF－C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校進行文科、理科數學成績對比，某次考試后，各隨機抽取100名同學的數學考試成績進行統計，其頻率分布表如下.
（Ⅰ）根據數學成績的頻率分布表，求理科數學成績的中位數的估計值；（精確到0.01）
（Ⅱ）請填寫下面的列聯表，并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為數學成績與文理科有關：
參考公式與臨界值表： 
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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