Question

【題目】如圖，四棱柱中，側棱底面，，，，，為棱的中點.

（1）證明；

（2）求二面角的余弦值；

（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）；（3）

【解析】

（Ⅰ）以點為原點建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，寫出向量，，計算兩向量的數量積即可證明垂直（Ⅱ）利用向量的坐標，分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可計算二面角的余弦值（III）設，寫出，求平面的一個法向量，利用線面角公式寫出直線與平面所成角的正弦值且為，可解出，即可求解線段的長.

（I）以點為原點建立空間直角坐標系，如圖，

依題意得，，，

，，.

則，，

而.

所以.

（II），，

設平面的法向量為，則，

即，取.

設平面的法向量為，則，

即，取.

，

所以二面角的余弦值為.

（III），，

設，有.

取為平面的一個法向量，

設為直線與平面所成的角，

則

.

于是，解得.

所以.

所以線段的長為.