Question

已知f(x)=,n∈N^*,試比較f()與的大小,并且說明理由.

Answer 1

見解析

f()==
=1-,
而=1-,
∴f()與的大小等價(jià)于2ⁿ與n²的大小.
當(dāng)n=1時(shí),2¹>1²;當(dāng)n=2時(shí),2²=2²;
當(dāng)n=3時(shí),2³<3²;當(dāng)n=4時(shí),2⁴=4²;
當(dāng)n=5時(shí),2⁵>5².猜想當(dāng)n≥5時(shí),2ⁿ>n².
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=5時(shí),由上可知不等式成立;
②假設(shè)n=k(k≥5,k∈N^*)時(shí),
不等式成立,即2^k>k²,
則當(dāng)n=k+1時(shí),2^k+1=2·2^k>2k²,
又∵2k²-(k+1)²=(k-1)²-2>0(∵k≥5),即2^k+1>(k+1)²,
∴n=k+1時(shí),不等式成立.
綜合①②對(duì)n≥5,n∈N^*不等式2ⁿ>n²成立.
∴當(dāng)n=1或n≥5時(shí),f()>;
當(dāng)n=3時(shí),f()<;
當(dāng)n=2或4時(shí),f()=.