Question

【題目】如圖，正方形所在平面與等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)分別證明BD垂直DE和AD,結合直線與平面垂直判定,即可.(2)建立坐標系,分別計算兩個平面的法向量,結合向量數量積公式,即可.

證明：（1）因為平面平面，平面平面，

，所以平面，

所以.

在中，，，

由余弦定理可得，所以，

所以，即，

又因為平面，平面，，

所以平面，

又因為平面，所以平面平面.

（2）因為四邊形是等腰梯形，，

又由（1）知，所以，所以.

以為坐標原點，分別以，，所在直線作為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標系，

設，則，可得，，

由，，可得，，

由此可得，，，

設平面的法向量為，則，

可得，

令，則，，所以，

由（1）知，，，所以是平面的一個法向量.

.

所以所求銳二面角的余弦值為.