Question

已知F是橢圓的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為，點B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點確定的圓C恰好與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)O為橢圓的中心，過F點作直線交橢圓于M、N兩點，在橢圓上是否存在點T，使得，如果存在，則求點T的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率為，可得A，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而可求AF的斜率，進而可得AB的斜率與方程，由此可得圓心坐標(biāo)與半徑，利用A、B、F三點確定的圓C恰好與直線相切，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，將直線方程代入橢圓方程，利用向量知識及韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵，∴
∴
取A（0，），∴
∵AB⊥AF，∴，∴
令y=0，∴，∴
∴圓心，半徑r=a
∵A、B、F三點確定的圓C恰好與直線相切
∴圓心到直線的距離，∴a=2，∴
∴橢圓方程為…（7分）
（2）當(dāng)MN的斜率存在時，設(shè)直線MN：ny=x+1，聯(lián)立，（3n²+4）y²-6ny-9=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（x，y），
∵，
∴，解得，n=0．…（12分）
即MN的斜率存在時，T（2，0）．
當(dāng)MN的斜率為0時，T不存在． …（14分）
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達(dá)定理的運用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量知識，建立方程．