Question

已知F是橢圓的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為，點B在x軸上，AB⊥AF，A，B，F三點確定的圓C恰好與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過F作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點，P為線段MN的中點，設O為橢圓中心，射線OP交橢圓于點Q，若，若存在求k的值，若不存在則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定出F，A的坐標，進而確定點B的坐標，從而可確定A，B，F三點確定的圓的圓心坐標與半徑，利用圓與直線相切，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）假設存在，設直線l的方程為：y=k（x+1）代入橢圓的方程，根據P為線段MN的中點，確定P的坐標，進而可得Q的坐標，代入橢圓方程，即可判斷k不存在．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為，∴，∴
∴，
∵AB⊥AF，∴
∴AB的方程為：
令y=0，∴，∴
∴A，B，F三點確定的圓的圓心坐標為，半徑為r=a
∴圓心到直線的距離為，
∵A，B，F三點確定的圓C恰好與直線相切．
∴
∴a=2，∴
∴橢圓的方程為；
（Ⅱ）假設存在，設直線l的方程為：y=k（x+1）代入橢圓的方程，消去y可得
（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y），則，
∵P為線段MN的中點，∴
∴
∵，∴
∴
∵射線OP交橢圓于點Q
∴
∴
∴64k⁴+48k²=4（16k⁴+24k²+9）
∴48k²=96k²+36
∴-48k²=36
此方程無解，∴k不存在．
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查代入法的運用，解題的關鍵是確立動點坐標之間的關系，有綜合性．