Question

已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)B在x軸上，AB⊥AF，A、B、F三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為橢圓的中心，是否存在過(guò)F點(diǎn)，斜率為k（k∈R，l≠0）且交橢圓于M、N兩點(diǎn)的直線，當(dāng)從O點(diǎn)引出射線經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q時(shí)，有成立．如果存在，則求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直線AB的方程，從而確定圓心與半徑r=a，利用圓C恰好與直線相切，建立方程，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)k存在，將直線方程代入橢圓方程，求出P的坐標(biāo)，利用且，可得Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)A為橢圓的上頂點(diǎn)，則∵，∴，∴
∴
∴，∴
∴
令y=0，∴，∴
∴圓心為，半徑r=a
∴圓心到直線的距離
∴a=2，∴，∴橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）假設(shè)k存在，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x，y）
由，消去y可得：（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0…（8分）
∴，∴，
又∵且
∴，∴…（11分）
又∵，∴
∴3×64k⁴+4×36k²=12（4k²+3）²
∴16k⁴+12k²=16k⁴+24k²+9
∴12k²+9=0，∴k無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴不存在…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．