Question

新余到吉安相距120千米，汽車從新余勻速行駛到吉安，速度不超過120km/h，已知汽車每小時的運輸成本（單位：元）由可變部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元，
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)；并求出當a=50，b=

1

200

時，汽車應(yīng)以多大速度行駛，才能使得全程運輸成本最小；
（2）隨著汽車的折舊，運輸成本會發(fā)生一些變化，那么當a=

169

2

，b=

1

200

，此時汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大，才會使得運輸成本最小．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，汽車從新余勻速到吉安所用時間為

120

v

，全程成本為y=（bv²+a）•

120

v

=120（bv+

a

v

），v∈（0，120]；代入a=50，b=

1

200

，利用基本不等式求解；
（2）注意到y(tǒng)=120（

1

200

v+

169

2v

）時，利用基本不等式取不到等號，故轉(zhuǎn)而應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答： 解：（1）由題意知，汽車從新余勻速到吉安所用時間為

120

v

，
全程成本為y=（bv²+a）•

120

v

=120（bv+

a

v

），v∈（0，120]；
當a=50，b=

1

200

時，
y=120（

1

200

v+

50

v

）≥240•

1 200 v• 50 v

=120（當且僅當v=100時取等號）．
所以汽車應(yīng)以100km/h的速度行駛，能使得全程運輸成本最小． 
（2）當a=

169

2

，b=

1

200

時，y=120（

1

200

v+

169

2v

），
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知v=120時，y有最小值．
所以汽車應(yīng)以120km/h的速度行駛，才能使得全程運輸成本最小．

點評：本題考查了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，同時考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．