Question

在平面直角坐標系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點到焦點的距離為2，離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點．若|PA|²+|PB|²的值與點P的位置無關，求k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知，a=2，e=

c

a

=

3

2

，故c=

3

，b=1；從而寫出橢圓方程；
（2）設直線l的方程為y=k（x-m）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立可得（4k²+1）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，利用韋達定理及兩點間的距離公式可化簡|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=

m2(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)(8k2+8)

(1+4k2)2

，從而由|PA|²+|PB|²的值與點P的位置無關得-8k⁴-6k²+2=0，從而求解．

解答： 解：（1）由題意知，a=2，e=

c

a

=

3

2

，
故c=

3

，b=1；
故橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設直線l的方程為y=k（x-m）．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立直線l與橢圓C的方程，
化簡可得（4k²+1）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，
則x₁+x₂=

8mk2

4k2+1

，x₁x₂=

4(k2m2-1)

4k2+1

，
y₁+y₂=

-2mk

4k2+1

，y₁y₂=

k2m2-4k2

4k2+1

，
則|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=

3

4

（x₁+x₂）²-

3

2

x₁x₂-2m（x₁+x₂）+2m²+2
=

m2(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)(8k2+8)

(1+4k2)2

①，
∵|PA|²+|PB|²的值與點P的位置無關，
∴即 ①式取值與m無關，
∴-8k⁴-6k²+2=0，
解得k=±

1

2

，
故k的值是±

1

2

．

點評：本題考查了圓錐曲線的求解及與直線的位置關系應用，屬于難題．