Question

試用定義討論并證明函數f（x）=

ax+1

x+2

（a≠

1

2

）在（-∞，-2）上的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：先將f（x）變成：f（x）=a+

1-2a

x+2

，根據單調性的定義，設x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂，通過作差并討論a的取值即可判斷f（x₁），f（x₂）的大小，從而判斷f（x）在（-∞，-2）上的單調性．

解答： 解：f（x）=

a(x+2)+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

；
設x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
f(x1)-f(x2)=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

(x1+2)(x2+2)

；
∵x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0；
∴若1-2a＜0，即a＞

1

2

時，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-∞，-2）上單調遞增；
若1-2a＞0，即a＜

1

2

時，f（x₁）＞f（x₂），∴此時f（x）在（-∞，-2）上單調遞減．

點評：考查分離常數法化簡f（x），以及函數的單調性定義，根據函數單調性定義討論f（x）單調性的過程．