【題目】已知橢圓
（
）的離心率為
， 
分別是它的左、右焦點，且存在直線
，使
關于
的對稱點恰好是圓
（
）的一條直線的兩個端點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設直線
與拋物線
（
）相交于
兩點，射線
， 
與橢圓
分別相交于點
，試探究：是否存在數集
，當且僅當
時，總存在
，使點
在以線段
為直徑的圓內？若存在，求出數集
；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
;（2）
【解析】試題分析：（1）由圓
的方程配方得半徑為2，由題設知，橢圓的焦距
等于圓
的直徑，所以
，又
，可得橢圓方程.
（2）由題可得直線
是線段
的垂直平分線，由
方程與
，聯立可得：
， 
.又點
在以線段
為直徑的圓內即
, 
試題解析：（1）將圓
的方程配方得： 
，所以其圓心為
，半徑為2，由題設知，橢圓的焦距
等于圓
的直徑，所以
，
又
，所以
，從而
，故橢圓
的方程為
.
（2）因為
產于
的對稱點恰好是圓
的一條直徑的兩個端點，所以直線
是線段
的垂直平分線（
是坐標原點），故
方程為
，與
，聯立得： 
，由其判別式
得
①.
設
， 
，則
， 
，
從而
， 
.
因為
的坐標為
，
所以
， 
，
注意到
與
同向， 
與
同向，所以
點
在以線段
為直徑的圓內
，所以
即
代入整理得
②
當且僅當
即
時，總存在
，使②成立.
又當
時，由韋達定理知方程
的兩根均為正數，故使②成立的
，從而滿足①.
故存在數集
，當且僅當
時，總存在
使點
在以線段
為直徑的圓內.
點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及點
在以線段
為直徑的圓內
,坐標化求解即可.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小學為了解本校某年級女生的身高情況，從本校該年級的學生中隨機選出１００名女生并統計她們的身高（單位： 
），得到如圖頻率分布表：
分組（身高） |
|
|
|
|
（Ⅰ）用分層抽樣的方法從身高在
和
的女生中共抽取6人，則身高在
的女生應抽取幾人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的6人中，再隨機抽取2人，求這2人身高都在
內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，隔河看兩目標A、B，但不能到達，在岸邊選取相距 
km的C、D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面內），求兩目標A、B之間的距離． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校的特長班有50名學生，其中有體育生20名，藝術生30名，在學校組織的一次體檢中，該班所有學生進行了心率測試，心率全部介于50次/分到75次/分之間，現將數據分成五組，第一組
，第二組
，…，第五組
，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為
.
（Ⅰ）求
的值，并求這50名同學心率的平均值；
（Ⅱ）因為學習專業的原因，體育生常年進行系統的身體鍛煉，藝術生則很少進行系統的身體鍛煉，若從第一組和第二組的學生中隨機抽取一名，該學生是體育生的概率為0.8，請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為心率小于60次/分與常年進行系統的身體鍛煉有關？說明你的理由.
參考數據：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式： 
，其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合計 | |
體育生 | 20 | ||
藝術生 | 30 | ||
合計 | 50 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等極如下表：
質量指標值 |
|
|
|
等級 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
從某企業生產的這種產品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
（1）根據以上抽樣調查數據 ，能否認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品90%”的規定？
（2）在樣本中，按產品等極用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產品中隨機抽取4件，求抽取的4件產品中，一、二、三等品都有的概率；
（3）該企業為提高產品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值
近似滿足
，則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若圓
上有四個不同的點到直線
的距離為2，則
的取值范圍是( )
A. (－12，8) B. (－8，12) C. (－13，17) D. (－17，13)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面向量 
=（1，x）， 
=（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若 ∥ ，求| 
|
（2）若 與 夾角為銳角，求x的取值范圍．
（3）若| |=2，求與 垂直的單位向量 
的坐標．
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