Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．連接AC₁，則BC⊥AC₁．
由已知，側面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因為側面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點，連接AB₁，則點M是AB₁的中點．
又點N是B₁C₁的中點，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）因為AC₁⊥平面A₁BC，設AC₁與A₁C相交于點D，
連接BD，則∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角．
設AC=BC=CC₁=a，則C₁D=

2

2

a，BC₁=

2

a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=

C1D

BC1

=

1

2

，
所以∠C₁BD=30°，故直線BC₁和平面A₁BC所成的角為30°．