Question

已知復(fù)數(shù)z=

3

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

的模|z|=

2

，且A≠

m

2

π，B≠

n

2

π，m，n∈Z．求tanAtanB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用模的計算公式可得3sin²

A+B

2

+cos²

A-B

2

=2，再利用倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式可得．

解答： 解：由z=

3

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

及|z|=

2

，
得

( 3 sin A+B 2 )2+(cos A-B 2 )2

=

2

，
即3sin²

A+B

2

+cos²

A-B

2

=2，
∴3×

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=2，
即3cos（A+B）=cos（A-B），
化為3（cosAcosB-sinAsinB）=cosAcosB+sinAsinB，
∴2sinAsinB=cosAcosB，
又由A≠

m

2

π，B≠

n

2

π，m，n∈Z知cosAcosB≠0，
得2

sinAsinB

cosAcosB

=1，
即tanAtanB=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了模的計算公式、三角函數(shù)倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．