Question

已知函數f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角函數的倍角公式以及輔助角公式將函數進行化簡即可求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求出函數f（x）在x∈[0，

π

2

]的取值情況，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x=1+sin2x+

3

cos2x=1+2sin（2x+

π

3

），
由由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
所以函數 的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）-m=2得f（x）=m+2，
當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
由圖象得f（0）=1+2sin

π

3

=1+

3

，
函數f（x）的最大值為1+2=3，
∴要使方程f（x）-m=2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，
則f（x）=m+2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的解，
即函數f（x）和y=m+2在x∈[0，

π

2

]上有兩個不同的交點，
即1+

3

≤m+2＜3，
即

3

-1≤m＜1．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數進行化簡，利用數形結合是解決本題的關鍵．