Question

已知復(fù)數(shù)z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，求復(fù)數(shù)z=z₁•z₂實(shí)部的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：把z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα代入z=z₁•z₂，化簡(jiǎn)后得到z的實(shí)部，然后利用三角運(yùn)算求實(shí)部的最值．

解答： 解：∵z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，
∴z=z₁•z₂=（1+3i）（

3

cosα+isinα）
=

3

cosα+isinα+3

3

icosα-3sinα
=（

3

cosα-3sinα）+i（sinα+3

3

cosα），
∴z的實(shí)部為t=

3

cosα-3sinα=2

3

sin(

π

6

-α)．
∴當(dāng)α=2kπ-

π

3

，k∈Z時(shí)，tmax=2

3

；
當(dāng)α=2kπ-

4π

3

，k∈Z時(shí)，tmin=-2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了三角函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．