Question

【題目】如圖，棱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直， ，且．

（1）求證： ；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值是．

【解析】試題分析：（1）依據線面平行的判定定理，需要在平面找到一條直線與直線平行即可．因為平面平面，則過點作于，連接，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）由（1）知平面，又，為等邊三角形，，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量即可．

試題解析：（1）如圖，過點作于，連接，，可證得四邊形為平行四邊形，平面

（2）連接，由（1），得為中點，又，為等邊三角形，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則

，

設平面的法向量為，

由即，令，得

設平面的法向量為

由即，令，得

所以，

所以二面角的余弦值是