Question

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c (a≠0)且滿足f(－1)＝0，對任意實數x，恒有f(x)－x≥0，并且當x∈(0,2)時，f(x)≤.
(1)求f(1)的值；
(2)證明：a>0，c>0；
(3)當x∈[－1,1]時，函數g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是單調函數，求證：m≤0或m≥1.

Answer 1

（1）f(1)＝1.   （2）見解析   （3）見解析

(1)解　∵對x∈R，f(x)－x≥0恒成立，
當x＝1時，f(1)≥1，
又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，
∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.
(2)證明　∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.
又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.
∵f(x)－x≥0對x∈R恒成立，
∴ax²－x＋c≥0對x∈R恒成立．
∴，　∴∴c>0，故a>0，c>0.
(3)證明　∵a＋c＝，ac≥，
由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，
∴ac＝，當且僅當a＝c＝時，取“＝”．
∴f(x)＝x²＋x＋.
∴g(x)＝f(x)－mx＝x²＋x＋
＝[x²＋(2－4m)x＋1]．
∵g(x)在[－1,1]上是單調函數，
∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.