Question

【題目】已知數列是首項為1，公差為的等差數列，數列是首項為1，公比為的等比數列．

（1）若，求數列的前項和；

（2）若存在正整數，使得，試比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2) 當時，；當時，；當時，．

【解析】

審題引導：①等差數列與等比數列對應項的積錯位相減求和；②作差比較．

規范解答：解：(1)依題意，a5＝b5＝b1q5－1＝1×34＝81，故d＝＝20，

所以an＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)

令Sn＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n－19)·3n－1，①

則3Sn＝1×3＋21×32＋…＋(20n－39)·3n－1＋(20n－19)·3n，②

①－②，得－2Sn＝1＋20×(3＋32＋…＋3n－1)－(20n－19)·3n＝1＋20×－(20n－19)·3n＝(29－20n)·3n－29，所以Sn＝.(7分)

(2)因為ak＝bk，所以1＋(k－1)d＝qk－1，即d＝，

故an＝1＋(n－1).又bn＝qn－1，(9分)所以bn－an＝qn－1－

＝[(k－1)(qn－1－1)－(n－1)(qk－1－1)]

＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]．(11分)

(ⅰ)當1＜n＜k時，由q＞1知

bn－an＝[(k－n)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋qn－1)]

＜[(k－n)(n－1)qn－2－(n－1)(k－n)qn－1]＝－

＜0；(13分)

(ⅱ)當n＞k時，由q＞1知

bn－an＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋qk－1)－(n－k)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]

＞[(k－1)(n－k)qk－1－(n－k)(k－1)qk－2]

＝(q－1)2qk－2(n－k)

＞0，(15分)

綜上所述，當1＜n＜k時，an＜bn；當n＞k時，an＞bn；當n＝1，k時，an＝bn.(16分)

(注：僅給出“1＜n＜k時，an＜bn；n＞k時，an＞bn”得2分)

錯因錯位相減時項數容易搞錯，作差比較后學生不能靈活倒用等比數列求和公式1－qn＝(1－q)(1＋q＋q2＋…＋qn－1)