Question

【題目】如圖在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，Q為四邊形的外接圓的圓心，平面，M在棱上，且.

（1）證明：平面.

（2）若與平面所成角為60°，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 連接，交于點O，連接，再根據三角形中的性質證明即可.

(2) 根據線面角的性質可得與平面所成角為，再以O為坐標原點的空間直角坐標系，利用空間向量求解與平面所成角的正弦值即可.

（1）證明：如圖，連接，交于點O，連接.

∵，∴，則，

∴O為的中點.

∵Q為四邊形的外接圓的圓心，∴Q為等邊的外接圓的圓心，

∴Q為等邊的重心，則.

又，∴.

∵平面，平面，∴平面.

（2）解：∵平面，

∴與平面所成角為，

則.

建立如圖所示的以O為坐標原點的空間直角坐標系，

∴，

∴.

設平面的法向量為，

則，即

令，得.

設與平面所成角為，∵，

∴，

∴與平面所成角的正弦值為.