Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點P（3，t）到其焦點的距離為4．
（1）求p的值；
（2）過點Q（1，0）作兩條直線l1 ， l2與拋物線分別交于點A、B和C、D，點M，N分別是線段AB和CD的中點，設直線l1 ， l2的斜率分別為k1 ， k2 ， 若k1+k2=3，求證：直線MN過定點．

Answer 1

【答案】解：（1）拋物線y2=2px的焦點為（，0），準線為x=﹣，
由拋物線的定義可得，3+=4，解得p=2；
（2）證明：由題意知，k1+k2=3，
不妨設AB的斜率k1=k，則CD的斜率k2=3﹣k，
所以AB的直線方程是：y=k（x﹣1），CD的直線方程是y=（3﹣k）（x﹣1），
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由 ，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
則x1+x2=，x1x2=1，
所以y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1）=k（2+）﹣2k=，
因為M是AB的中點，所以點M（1+，），
同理可得，點N（1+，），
所以直線MN的方程是：y﹣=（x﹣1﹣），
化簡得，y=（k﹣k2）（x﹣1）+，令x=1，得y=，
所以直線MN過定點（1，）．
【解析】（1）求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義，可得p=2；
（2）不妨設AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=3﹣k，利用點斜式方程求出直線AB、CD的方程，與拋物線方程聯立消x得關于y的一元二次方程，根據韋達定理即可求得中點M、N的坐標，利用點斜式方程求出直線MN的方程，化簡后求出直線MN經過的定點坐標．