Question

（2004•廣州一模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n都有2S_n=（n+2）a_n-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn=

1

a1•a3

+

1

a2•a4

+…+

1

an•an+2

，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（I）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，分別令n=1，2，3，4．求得a₁，a₂，a₃，a₄．由此猜想：a_n=

n+1

2

．下面用數學歸納法證明．
法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，仿寫一個等式，兩式相減，得到數列的項的遞推關系，據此遞推關系，利用累乘法求出通項．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，則

1

an•an+2

=

4

(n+1)(n+3)

=2（

1

n+1

-

1

n+3

），從而利用拆項法求和2得到Tn=（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）．最后求出其根限即可．

解答：解：（Ⅰ）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，
令n=1，得2a₁=3 a₁-1，求得a₁=1，
令n=2，得2（a₁+a₂）=4a₂-1，求得a₂=

3

2

；
令n=3，得2（a₁+a₂+a₃）=5 a₃-1，求得a₃=2；
令n=4，得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=6 a₄-1，求得a₄=

5

2

．
由此猜想：a_n=

n+1

2

．  …
下面用數學歸納法證明．
（1）當n=1時，a₁=

1+1

2

=1，命題成立．
（2）假設當n=k時，命題成立，即a_k=

k+1

2

，且2S_k=（k+2）a_k-1，則由2S_k+1=（k+3）a_k+1-1及S_k+1=S_k+a_k+1，得（k+3）a_k+1-1=2S_k+2a_k+1，即（k+3）a_k+1-1=[（k+2）a_k-1]+2a_k+1．則a_k+1=

(k+2)ak

k+1

=

k+2

2

，這說明當n=k+1時命題也成立．根據（1）、（2）可知，對一切n∈N^*命題均成立．                        …（6分）
法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，令n=1，求得a₁=1．
∵2S_n=（n+2）a_n-1，
∴2S_n-1=（n+1）a_n-1-1．  
當n≥2時，兩式相減得：2（S_n-S_n-1）=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即  2 a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1整理得，

an

an-1

=

n+1

n

． …（3分）
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a₁=

n+1

n

•

n

n-1

•…•

4

3

•

3

2

•1=

n+1

2

．   
當n=1時，a_n=

1+1

2

，滿足上式，
∴a_n=

n+1

2

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，
則

1

an•an+2

=

4

(n+1)(n+3)

=2（

1

n+1

-

1

n+3

），
∴Tn=

1

a1•a3

+

1

a2•a4

+…+

1

an•an+2

=2[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）+（

1

n+1

-

1

n+3

）]
=2（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）．
∴

lim

n→∞

Tn=

5

3

．

點評：本小題主要考查數列、數列的求和、數學歸納法、數列的極限等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．若知數列的和與項的遞推關系求通項，常采用仿寫的方法；求數列的前n項和，一般先判斷通項的特點，然后采用合適的求和方法．屬于中檔題