Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，

（Ⅰ）求證：AC⊥A1B；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)

【解析】試題分析：（Ⅰ）作AC的中點(diǎn)O，由A1A=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)可得A1O⊥底面ABC，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，由=0，可得AC⊥A1B；

（Ⅱ）求出平面AA1C與平面A1CB的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

試題解析：

（Ⅰ）證明：作AC的中點(diǎn)O，∵A1A=A1C，且O為AC的中點(diǎn)，∴A1O⊥AC，

又側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，其交線為AC，且A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥底面ABC，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0）．

則有：，，

∵=0，∴AC⊥A1B；

（Ⅱ）解：平面AA1C的一個(gè)法向量為．

設(shè)平面A1CB的一個(gè)法向量，

由，取z=1，得．

∴cos＜＞=．

∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為．