Question

【題目】對于函數、、，如果存在實數、使得，那么稱為、的生成函數.

（1）若，，，則是否分別為、的生成函數？并說明理由；

（2）設，，，，生成函數，若不等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）設，取，，生成函數圖象的最低點坐標為，若對于任意正實數、且，試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是；理由見解析；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）利用兩角和的正弦公式將函數的解析式展開，利用題中的定義可判斷出是、的生成函數；

（2）先得出函數，根據題意得出在上有解，設，利用參變量分離法得出，可得出，求出函數在上的最大值，即可得出實數的取值范圍；

（3）先得出函數，利用題意以及基本不等式得出，，然后利用基本不等式求出在條件下的最小值，即可得出的取值范圍，即可求出的最大值.

（1），因此，是分別為、的生成函數；

（2）由題意可得，

由于不等式在上有解，即，

化簡得，

令，則有，得，

由題意可得，由于函數在上單調遞增，

所以，，.

因此，實數的取值范圍是；

（3）由題意可得，

函數圖象的最低點坐標為，

由基本不等式得，

當且僅當時，即當時，等號成立，則，解得，

.

.

令，由基本不等式得，

由雙勾函數的單調性知，函數在上單調遞減，

則，.

因此，存在最大值的常數.