Question

已知向量

a

1，

a

2，

a

3，…

a

n…滿足如下條件：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），

d

與

a1

的夾角為

2π

3

，且|

a

1|=4|

d

|=2，則數列|

a

1|，|

a

2|，|

a

3|，…|

a

n|…中最小的項是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列,平面向量及應用

分析：運用等差數列的通項公式，求得

an

，再由向量的平方即為模的平方，以及向量的數量積的定義，結合二次函數的最值，即可得到．

解答： 解：

a

n-

a

n-1=

d

（n=2，3，4，…），
則

an

=

a1

+（n-1）

d

，
由

d

與

a1

的夾角為

2π

3

，且|

a1

|=4，|

d

|=2，
則

a1

•

d

=4×2×（-

1

2

）=-4，
即有|

an

|²=

an

²=

a1

2+（n-1）²

d

2+2（n-1）

a1

•

d

=16+4（n-1）²-8（n-1）=4（n-2）²+12，
當n=2時，|

a2

|²取得最小，且為12．
即有最小的項為2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查等差數列的通項公式的運用，考查向量的數量積的定義和性質，考查二次函數的最值，考查運算能力，屬于中檔題．