Question

已知函數f（x）=

1

x-1

的定義域為集合A，函數g（x）=（

1

2

）^x（-1≤x≤0）的值域為集合B，U=R．
（1）求（∁_UA）∩B；
（2）若C={x|a≤x≤2a-1}且C⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：交、并、補集的混合運算,集合的包含關系判斷及應用

專題：函數的性質及應用,集合

分析：（1）由函數f（x）的解析式求出定義域A，由補集的運算求出∁_UA，再由指數函數的性質求出函數g（x）的值域B，再由交集的運算求出（∁_UA）∩B；
（2）根據子集的定義和條件對集合B分B=∅和B≠∅兩種情況，分別列出不等式組求出a的范圍．

解答： 解：（1）要是函數f（x）=

1

x-1

有意義，則x-1＞0，得x＞1，
所以函數f（x）的定義域A=（1，+∞），則∁_UA=（-∞，1]，
由-1≤x≤0得，1≤(

1

2

)x≤2，則函數g（x）的值域B=[1，2]，
所以（∁_UA）∩B={1}；…（5分）
（2）因為C={x|a≤x≤2a-1}且C⊆B，
所以對集合B分B=∅和B≠∅兩種情況，
則a＞2a-1或

a≤2a-1 2a-1≤2 a≥1

，解得a＜1或1≤a≤

3

2

，
所以實數a的取值范圍是（-∞，

3

2

]…（10分）

點評：本題考查補、交、并的混合運算，由集合之間的關系求出參數的范圍，及指數函數的性質，屬于基礎題．