Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知拋物線的焦點為， 為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時， 為正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，

（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；

（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）.（II）（ⅰ）直線AE過定點.（ⅱ）的面積的最小值為16.

【解析】試題分析：（I）由拋物線的定義知，

解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設，

可得，即，直線AB的斜率為，

根據直線和直線AB平行，可設直線的方程為，

代入拋物線方程得，

整理可得，

直線AE恒過點.

注意當時，直線AE的方程為，過點，

得到結論：直線AE過定點.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點，

得到，

設直線AE的方程為，

根據點在直線AE上，

得到，再設，直線AB的方程為，

可得，

代入拋物線方程得，

可求得， ，

應用點B到直線AE的距離為 .

從而得到三角形面積表達式，應用基本不等式得到其最小值.

試題解析：（I）由題意知

設，則FD的中點為，

因為，

由拋物線的定義知： ，

解得或（舍去）.

由，解得.

所以拋物線C的方程為.

（II）（ⅰ）由（I）知，

設，

因為，則，

由得，故，

故直線AB的斜率為，

因為直線和直線AB平行，

設直線的方程為，

代入拋物線方程得，

由題意，得.

設，則， .

當時， ，

可得直線AE的方程為，

由，

整理可得，

直線AE恒過點.

當時，直線AE的方程為，過點，

所以直線AE過定點.

（ⅱ）由（ⅰ）知，直線AE過焦點，

所以，

設直線AE的方程為，

因為點在直線AE上，

故，

設，

直線AB的方程為，

由于，

可得，

代入拋物線方程得，

所以，

可求得， ，

所以點B到直線AE的距離為

.

則的面積，

當且僅當即時等號成立.

所以的面積的最小值為16.