Question

【題目】已知函數，為函數的導函數．

(1)若，函數在處的切線方程為，求a、的值；

(2)若曲線上存在兩條互相平行的切線，其傾斜角為銳角，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0＜a＜1.

【解析】

（1）對F′（x）＝lnx+x﹣ax2，由切點為（1，﹣1），斜率為﹣2，可得和F′（1）=-2，聯立解得a，b即可．

（2）令h（x）＝f′（x）＝lnx+x﹣ax2，（x＞0），h′（x）＝+1﹣2ax＝ ，令u（x）＝﹣2ax2+x+1，對a≤0和a＞0時兩種情況分別討論，即可求出．

(1)F(x)＝xln x－x＋x2－ax3＋b，F′(x)＝ln x＋x－ax2，∵切點為(1，－1)，切線斜率為k＝－2，∴∴a＝3，b＝.

所以

(2) f′（x）＝lnx+x﹣ax2，令h（x）＝f′（x）＝lnx+x﹣ax2，（x＞0），

h′（x）＝+1﹣2ax＝，

令u（x）＝﹣2ax2+x+1，

當a≤0時，u（x）＞0，∴h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，不適合題意，舍去．

當a＞0時，u（x）的△＝1+8a＞0，設方程u（x）＝0的兩根分別為x1，x2，

∵x1x2＝﹣＜0，不妨設x1＜0＜x2，當x∈（0，x2）時，h′（x）＞0，當x∈（x2，+∞）時，h′（x）＜0．

∴h（x）在x∈（0，x2）時單調遞增，當x∈（x2，+∞）時，h（x）單調遞減．

∴，得到，

由①可得：代入②整理可得2lnx2+x2﹣1＞0③．

∵函數v（x）＝2lnx+x﹣1在（0，+∞）上單調遞增，v（1）＝0，

∴x2＞1，由①可得，

∵，∴0＜2a＜2，∴0＜a＜1．