Question

【題目】如果無窮數列{an}的所有項恰好構成全體正整數的一個排列，則稱數列{an}具有性質P．

（Ⅰ）若an（k∈N*），判斷數列{an}是否具有性質P，并說明理由，

（Ⅱ）若數列{an}具有性質P，求證：{an}中一定存在三項ai，aj，ak（i＜j＜k）構成公差為奇數的等差數列；

（Ⅲ）若數列{an}具有性質P，則{an}中是否一定存在四項ai，aj，ak，al，（i＜j＜k＜l）構成公差為奇數的等差數列？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數列{an}具有性質P．見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）不一定存在，見解析

【解析】

（Ⅰ）分n為奇數，n為偶數討論，研究an包含的數的情況，即得解;

（Ⅱ）考慮，令，從開始尋找第一個大于M的項，記為：,分為奇數，偶數討論，分別構造，為公差為奇數的等差數列，即得證.

（Ⅲ）構造反例：為1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反證法，即得證,

（Ⅰ）解：∵an（k∈N*），∴數列{an}具有性質P．

理由如下：

當n為奇數，n∈N*時，an＝n+1包含所有的正偶數，

當n為偶數，n∈N*時，an＝n﹣1包含所有的正奇數，

∴無窮數列{an}的所有項恰好構成全體正整數的一個排列，

∴數列{an}具有性質P．

（Ⅱ）證明：不妨設

考慮，令，

從開始尋找第一個大于M的項，記為：，則中含有1，2，且為前j項中的最大項()

(i)若為奇數，，所以在之后，記為，則，為公差為奇數的等差數列;

(ii) 若為偶數，令，則，為公差為奇數的等差數列.

故結論成立.

（Ⅲ）不一定存在

例如為1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,

即每三項構成一組，第k組的通項公式為：2k-1,4k-2,4k，

假設存在4項構成公差為奇數的等差數列，則存在三項（偶數，奇數，偶數）成等差，

由于中，任意一項奇數后面的偶數都大于等于2，

因此不可能存在三項（偶數，奇數，偶數）成等差.

故假設不成立.