Question

【題目】如圖，已知平面平面為等邊三角形，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取CE的中點(diǎn)G，連接，通過(guò)證明平面得面面垂直；

（2）過(guò)點(diǎn)B作交于M，連接FM，即為所求線面角，根據(jù)線面位置關(guān)系計(jì)算正弦值.

（1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連接.

∵F為CD的中點(diǎn)，∴且.

∵平面平面ACD，

∴，∴.

又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵為等邊三角形，F為CD的中點(diǎn)，∴.

∵平面，平面，∴.

又，故平面.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）不妨設(shè)，過(guò)點(diǎn)B作交于M，

連接FM，由（1）平面平面，，平面，

平面平面，所以平面，

所以為所求線面角，

又因?yàn)?/span>平面平面，所以在中，，

在直角梯形中，，所以為等腰三角形，

，

所以直線和平面所成角的正弦值為.