Question

【題目】已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F，F，左右頂點分別為A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4
（1）求橢圓的方程；
（2）過F1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若△MF2N的面積為 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，

左右焦點分別為F，F，左右頂點分別為A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4 ，

∴ ，解得a=2 ，c=2，b=2，

∴橢圓的方程為

（2）解：由（1）知F1（﹣2，0），設過F1的直線l的方程為：x+2=my，

由 ，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則 ，

∵△MF2N的面積為 ，

∴ = =2 = ，

化簡，得2m4﹣m2﹣1=0，解得m2=1或m2=﹣ （舍），

解得m=±1，此時直線l的方程為x﹣y+2=0，或x+y+2=0

【解析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4 ，建立方程組，求出a=2 ，c=2，b=2，由此能求出橢圓的方程．（2）由F1（﹣2，0），設過F1的直線l的方程為：x+2=my，由 ，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韋達定理、弦長公式、三角形面積公式，能求出m=±1，由此能求出直線l的方程．